Question

（本小題滿分14分）已知如圖(1)，梯形中，，，，、分別是、上的動點，且，設（）。沿將梯形翻折，使平面平面，如圖（2）。
（Ⅰ）求證：平面平面；
（Ⅱ）若以、、、為頂點的三棱錐的體積記為，求的最大值；
（Ⅲ）當取得最大值時，求二面角的正弦值．

Answer 1

解：（Ⅰ）∵平面平面，，∴平面，
∴
∵，  又
∴平面。
又平面，
∴平面平面． ………………4分
（Ⅱ）平面,平面，
平面.
      ……………………………………6分
即時，有最大值．          ……………………………………8分
（Ⅲ）(方法一)如圖，以E為原點，、、為軸建立空間直角坐標系，
 則，，，
，
∴，，
設平面的法向量為，
則 ∴
設，則，，∴  ……………………………10分
平面的一個法向量為，
∴，      ……………………………12分
設二面角為，∴
∴二面角的正弦值為     …………………………………14分
(方法二)作于，作于，連。由（1）知平面平面，平面 又平面DGH
∴是二面角的平面角的補角．…………………………………10分
由∽，知，
而，，，
∴
又，∴  ……………12分
在中，。
∴二面角的正弦值為…………………………………14分 

略