Question

【題目】已知函數(shù)為自然對(duì)數(shù)的底數(shù)）．

（1）若曲線(xiàn)在點(diǎn)（處的切線(xiàn)與曲線(xiàn)在點(diǎn)處的切線(xiàn)互相垂直，求函數(shù)在區(qū)間上的最大值；

（2）設(shè)函數(shù)，試討論函數(shù)零點(diǎn)的個(gè)數(shù)．

Answer 1

【答案】（1）；（2）見(jiàn)解析.

【解析】

（1）分別求出y=f（x）與y=g（x）在x=0處的導(dǎo)數(shù)，利用斜率之積等于-1求得，得到f（x）解析式，再由導(dǎo)數(shù)判斷f（x）在區(qū)間[-1，1]上單調(diào)遞減，從而求得最大值；

（2）函數(shù)在R上單調(diào)遞增，僅在x=1處有一個(gè)零點(diǎn)，且x＜1時(shí)，g（x）＜0，再由導(dǎo)數(shù)分類(lèi)判定f（x）的零點(diǎn)情況，則答案可求．

（1）∵f′（x）=-3x2+a，g′（x）=ex，

∴f′（0）=a，g′（0）=1，

由題意知，，f（x）在區(qū)間[-1，1]上單調(diào)遞減，

∴；

（2）函數(shù)g（x）=ex-e在R上單調(diào)遞增，僅在x=1處有一個(gè)零點(diǎn)，且x＜1時(shí)，g（x）＜0，

又f′（x）=-3x2+a．

①當(dāng)a≤0時(shí)，f′（x）≤0，f（x）在R上單調(diào)遞減，且過(guò)點(diǎn)（0，-），f（-1）=＞0．

即f（x）在x≤0時(shí)，必有一個(gè)零點(diǎn)，此時(shí)y=h（x）有兩個(gè)零點(diǎn)；

②當(dāng)a＞0時(shí)，令f′（x）=-3x2+a=0，解得＜0，＞0．

則是函數(shù)f（x）的一個(gè)極小值點(diǎn)，是函數(shù)f（x）的一個(gè)極大值點(diǎn)．

而f（-）=＜0，

現(xiàn)在討論極大值的情況：

f（）=．

當(dāng)f（）＜0，即a＜時(shí)，函數(shù)f（x）在（0，+∞）上恒小于0，此時(shí)y=h（x）有兩個(gè)零點(diǎn)；

當(dāng)f（）=0，即a=時(shí)，函數(shù)f（x）在（0，+∞）上有一個(gè)零點(diǎn)，，此時(shí)y=h（x）有三個(gè)零點(diǎn)；

當(dāng)f（）＞0，即a＞時(shí)，函數(shù)f（x）在（0，+∞）上有兩個(gè)零點(diǎn)，一個(gè)零點(diǎn)小于，一個(gè)零點(diǎn)大于．

若f（1）=a-＜0，即a＜時(shí)，y=h（x）有四個(gè)零點(diǎn)；

f（1）=a=0，即a=時(shí)，y=h（x）有三個(gè)零點(diǎn)；

f（1）=a-＞0，即a＞時(shí)，y=h（x）有兩個(gè)零點(diǎn)．

綜上所述，當(dāng)a＜或a＞時(shí)，y=h（x）有兩個(gè)零點(diǎn)；當(dāng)a=或a=時(shí)，y=h（x）有三個(gè)零點(diǎn)；當(dāng)＜a＜時(shí)，y=h（x）有四個(gè)零點(diǎn)．