【題目】一商家誠邀甲、乙兩名圍棋高手進行一場網絡國棋比賽，每比賽一局商家要向每名棋手支付2000元對局費，同時商家每局從轉讓網絡轉播權及廣告宣傳中獲利12100元，從兩名棋手以往比賽中得知，甲每局獲勝的概率為
，乙每局獲勝的概率為
，兩名棋手約定：最多下五局，先連勝兩局者獲勝，比賽結束，比賽結束后，商家為獲勝者頒發5000元的獎金，若沒有決出獲勝者則各頒發2500元.
（1）求下完五局且甲獲勝的概率是多少；
（2）求商家從這場網絡棋賽中獲得的收益的數學期望是多少.
【答案】（1）
（2）
【解析】
（1）根據題意,連勝兩局獲勝.若比賽五局,且甲獲勝,則五局的勝負情況為乙勝,甲勝,乙勝,甲勝,甲勝.進而由各自取勝的概率即可求解.
（2）根據題意可知,兩人比賽局數
可能的取值有
.由所給取勝的概率,分別求得這四種情況下的概率,即可求得比賽局數的期望.扣除支出,即為商家獲得的收益情況.
（1）根據題意,先連勝兩局者獲勝.則下完五局甲獲勝,這五局的勝負情況分別為:
乙勝,甲勝,乙勝,甲勝,甲勝.
甲每局獲勝的概率為
,乙每局獲勝的概率為
所以下完五局甲獲勝的概率為
（2）設為比賽的局數,
表示商家獲得的收益
則
由題意可知,可能的取值有
當比賽五局時,前四局兩人各勝兩局,且第五局無論誰勝商家都需支付5000元,因而
所以由離散型數學期望公式可得
故
所以商家從這場網絡棋賽中獲得的收益的數學期望是
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【題目】已知函數f(x)＝x2－mlnx，h(x)＝x2－x＋a.
(1)當a＝0時，f(x)≥h(x)在(1，＋∞)上恒成立，求實數m的取值范圍；
(2)當m＝2時，若函數k(x)＝f(x)－h(x)在區間(1,3)上恰有兩個不同零點，求實數a的取值范圍．
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科目：高中數學 來源： 題型：
【題目】某船由甲地逆水行駛到乙地，甲、乙兩地相距s（km），水的流速為常量a（
），船在靜水中的最大速度為b（）（
），已知船每小時的燃料費用（以元為單位）與船在靜水中的速度的平方成正比，比例系數為k，則船在靜水中的航行速度為多少時，其全程的燃料費用最省？
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科目：高中數學 來源： 題型：
【題目】2020年初，我國突發新冠肺炎疫情.面對“突發災難”，舉國上下心，繼解放軍醫療隊于除夕夜飛抵武漢，各省醫療隊也陸續增援，紛紛投身疫情防控與病人救治之中.為分擔“逆行者”的后顧之憂，某大學學生志愿者團隊開展“愛心輔學”活動，為抗疫前線工作者子女在線輔導功課.現隨機安排甲、乙、丙3名志愿者為某學生輔導數學、物理、化學、生物4門學科，每名志愿者至少輔導1門學科，每門學科由1名志愿者輔導，則數學學科恰好由甲輔導的概率為______.
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【題目】圓周上有800個點，依順時針方向標號為
，它們將圓周分成800個間隙.今選定某一點染成紅色，然后按如下規則，逐次染紅其余的一些點：如果第
號點已被染紅，則可按順時針方向轉過個間隙，再將所到達的那個端點染紅.如此繼續下去.試問圓周上最多可得到多少個紅點？證明你的結論.
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科目：高中數學 來源： 題型：
【題目】有四名男生，三名女生排隊照相，七個人排成一排，則下列說法正確的有（ ）
A.如果四名男生必須連排在一起，那么有
種不同排法
B.如果三名女生必須連排在一起，那么有
種不同排法
C.如果女生不能站在兩端，那么有
種不同排法
D.如果三個女生中任何兩個均不能排在一起，那么有種不同排法
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【題目】在梯形
中（圖1），
， 
， 
，過
、
分別作
的垂線，垂足分別為
、
，已知
， 
，將梯形
沿
、
同側折起，使得
， 
，得空間幾何體
（圖2）．
（1）證明： 
平面
；
（2）求三棱錐
的體積．
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【題目】《九章算術》是中國古代的數學專著，其中的“更相減損術”可以用來求兩個數的最大公約數，原文是：可半者半之，不可半者，副置分母、子之數，以少減多，更相減損，求其等也，以等數約之. 翻譯為現代的語言如下：如果需要對分數進行約分，那么可以折半的話，就折半（也就是用2來約分）.如果不可以折半的話，那么就比較分母和分子的大小，用大數減去小數，互相減來減去，一直到減數與差相等為止，用這個相等的數字來約分，現給出“更相減損術”的程序框圖如圖所示，如果輸入的
，
，則輸出的
（ ）
A. 6 B. 5 C. 4 D. 3
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