Question

已知數(shù)列的各項(xiàng)都為正數(shù)，。
（1）若數(shù)列是首項(xiàng)為1，公差為的等差數(shù)列，求；
（2）若，求證：數(shù)列是等差數(shù)列.

Answer 1

(1)6， (2)詳見(jiàn)解析.

解析試題分析：(1)數(shù)列求和，關(guān)鍵分析通項(xiàng)特征.本題通項(xiàng)因此求和可用裂項(xiàng)相消法. 因?yàn)?img src="http://thumb.zyjl.cn/pic5/tikupic/d0/b/1msmc3.png" style="vertical-align:middle;" />所以
從而(2)證明數(shù)列為等差數(shù)列，一般方法為定義法.由條件可得兩式相減得：化簡(jiǎn)得：，這是數(shù)列的遞推關(guān)系，因此再令兩式相減得：即，由得所以即，因此數(shù)列是等差數(shù)列.
(1)由題意得：
因?yàn)?img src="http://thumb.zyjl.cn/pic5/tikupic/71/6/ku4cf2.png" style="vertical-align:middle;" />
所以
從而
(2) 由題意得:,所以兩式相減得：，
化簡(jiǎn)得：，因此兩式相減得：即，由得所以即，因此數(shù)列是等差數(shù)列.
考點(diǎn)：列項(xiàng)相消法求和，等差數(shù)列證明