Question

已知橢圓：，直線交橢圓于兩點.
（Ⅰ）求橢圓的焦點坐標及長軸長；
（Ⅱ）求以線段為直徑的圓的方程.

Answer 1

（Ⅰ）焦點坐標，，長軸長；（Ⅱ）

試題分析：（Ⅰ）將橢圓方程變形為標準方程，即可知的值，根據可求，即可求出焦點坐標及長軸長。（Ⅱ）將直線和橢圓方程聯立，消去得關于的一元二次方程，可求出兩根，即為兩交點的橫坐標，分別代入直線方程可得交點的縱坐標。用中點坐標公式可求中點即圓心的坐標，再用兩點間距離公式可求半徑。
試題解析：解：（Ⅰ）原方程等價于.
由方程可知：，，，.         3分
所以 橢圓的焦點坐標為，，長軸長為.     5分
（Ⅱ）由可得:.
解得：或.
所以 點的坐標分別為，.                      7分
所以 中點坐標為，.      9分
所以 以線段為直徑的圓的圓心坐標為，半徑為.
所以 以線段為直徑的圓的方程為.        11分