Question

拋物線在點，處的切線垂直相交于點，直線與橢圓相交于，兩點．

（1）求拋物線的焦點與橢圓的左焦點的距離；
（2）設點到直線的距離為，試問：是否存在直線，使得，，成等比數列？若存在，求直線的方程；若不存在，請說明理由．

Answer 1

（1）;（2）不存在.

試題分析：（1）分別求出拋物線與橢圓的焦點，利用兩點間距離公式求解；（2）設直線與拋物線相交于與橢圓相交于,,所以直線與拋物線方程聯立，得到和然后利用,求出切線，的斜率，利用切線垂直，,解出m,然后分別設出過點的切線方程，求出交點的坐標，利用點到直線的距離公式求,直線與曲線相交的弦長公式求,若，，成等比數列，則,化簡等式，通過看方程實根情況.
試題解析：（I）拋物線的焦點，               1分
橢圓的左焦點，           2分
則．                       3分
（II）設直線，，，，，
由，得，        4分
故，．
由，得，
故切線，的斜率分別為，，
再由，得，
即，
故，這說明直線過拋物線的焦點．       7分
由，得，
,即．     8分
于是點到直線的距離.    9分
由，得，     10分
從而，       11分
同理，．                  12分
若，，成等比數列，則，              13分
即，
化簡整理，得，此方程無實根，
所以不存在直線，使得，，成等比數列．          15分