Question

如圖，菱形的邊長為4，，.將菱形沿對角線折起，得到三棱錐，點是棱的中點，.

（1）求證：平面；
（2）求證：平面平面；
（3）求三棱錐的體積.

Answer 1

（1）詳見解析；（2）詳見解析；（3）.

解析試題分析：（1）利用三角形的中位線平行于相應的底邊證明，然后結合直線與平面平行的判定定理即可證明平面；（2）先利用翻折時與的相對位置不變證明，然后利用勾股定理證明，并結合直線與平面垂直的判定定理先證明平面，最終利用平面與平面垂直的判定定理證明平面平面；（3）利用（2）中的結論平面，利用等體積法將三棱錐的體積轉化為以點為頂點，所在平面為底面的三棱錐的體積來計算，則三棱錐的高為，的面積為底面積，然后利用錐體的體積公式即可計算三棱錐的體積，在計算的面積時，首先應確定的形狀，然后選擇合適的公式計算計算的面積.
試題解析：（1）因為O為AC的中點，M為BC的中點，所以.
因為平面ABD，平面ABD，所以平面.
（2）因為在菱形ABCD中，，所以在三棱錐中，.
在菱形ABCD中，AB＝AD＝4，，所以BD＝4.因為O為BD的中點，
所以.因為O為AC的中點，M為BC的中點，所以.
因為，所以，即.
因為平面ABC，平面ABC，，所以平面ABC.
因為平面DOM，所以平面平面.
（3）由（2）得，平面BOM，所以是三棱錐的高.
因為，，
所以.
考點：直線與平面平行、平面與平面平行、等體積法