Question

已知a，b都是實數，且a≠0，f（x）=|x-1|+|x-2|．
（1）求不等式f（x）＞2的解集；
（2）若f（x）≤

|a+b|+|a-b|

|a|

對滿足條件的所有實數a，b都成立，求實數x的取值范圍．

Answer 1

考點：絕對值不等式的解法,絕對值三角不等式

專題：不等式的解法及應用

分析：（1）化簡函數f（x）的解析式，由f（x）＞2得

x≤1 3-2x＞2

，或

x＞2 2x-3＞2.

．求出每個不等式組的解集，再取并集，即得所求．
（2）求得

|a+b|+|a-b|

|a|

的最小值為2，可得f（x）≤2．再根據f（x）＞2的解集，求得f（x）≤2的解集．

解答： 解：（1）由題意可得 f(x)=

3-2x，x≤1 1，1＜x≤2 2x-3，x＞2.

，
由f（x）＞2得

x≤1 3-2x＞2

，或

x＞2 2x-3＞2.

．
解得x＜

1

2

，或x＞

5

2

，
即不等式的解集為(-∞，

1

2

)∪(

5

2

，+∞)．
（2）∵

|a+b|+|a-b|

|a|

≥

|a+b+a-b|

|a|

=2，
∴f（x）≤2．
∵f（x）＞2的解為x＜

1

2

，或x＞

5

2

，
∴f（x）≤2的解為

1

2

≤x≤

5

2

．
∴所求實數x的范圍為[

1

2

，

5

2

]．

點評：本題主要考查帶由絕對值的函數，絕對值不等式的解法，體現了轉化的數學思想，屬于中檔題．