Question

設f（x）=x²+bx+c（b，c∈R）．若|x|≥2時，f（x）≥0，且f（x）在區間（2，3]上的最大值為1，求b²+c²的最大值和最小值．

Answer 1

分析：根據題意函數圖象為開口向上的拋物線，且f（x）在區間（2，3]上的最大值只能在閉端點取得，故有f（2）≤f（3）=1，從而b≥-5且c=-3b-8，再根據若|x|≥2時，f（x）≥0，可確定b的范圍，進而可求b²+c²的最大值和最小值．

解答：解：由題意函數圖象為開口向上的拋物線，且f（x）在區間（2，3]上的最大值只能在閉端點取得，
故有f（2）≤f（3）=1，從而b≥-5且c=-3b-8．
若f（x）=0有實根，則△=b²-4c=b²+12b+32≥0，
∵|x|≥2時，f（x）≥0，
∴在區間[-2，2]有

f(-2)≥0 f(2)≥0 -2≤ b 2 ≤2

即

4-2b+c≥0 4+2b+c≥0 -4≤b≤4

消去c，解出

b≤- 4 5 b≤-4 -4≤b≤4

，
即b=-4，這時c=4，且△=0．
若f（x）=0無實根，則△=b²-4c＜0，將c=-3b-8代入解得-8＜b＜-4．
綜上-5≤b≤-4．
所以b²+c²=b²+（-3b-8）²=10b²+48b+64=10(b+

12

5

)2+

32

5

，
∴b²+c²在[-5，-4]上單調遞減
故(b2+c2)min=32，(b2+c2)max=74．

點評：本題是典型的二次函數最值問題，解題需要靈活運用初等數學思想，包括數形結合，分類討論，函數思想，轉化且探究意識要強．