Question

設f（x）=x²+ax+b，求證：||f（1）|，|f（2）||f（3）|中至少有一個不小于

1

2

．

Answer 1

分析：因“至少有一個不小于”的反面情況較簡單，比較方便證明，故從反面進行證明，用反證法．先根據函數f（x）的解析式，分別將x=1，2，3代入求得f（1），f（3），f（2），進而求得f（1）+f（3）-2f（2）．再假設|f（1）|，|f（2）|，|f（3）|都小于

1

2

，推出-2＜f（1）+f（3）-2f（2）＜2，利用此式與上面求得的式子矛盾，從而得出證明．

解答：證明：∵f（x）=x²+ax+b
∴f（1）=1+a+bf（2）=4+2a+bf（3）=9+3a+b，
所以f（1）+f（3）-2f（2）=（1+a+b）+（9+3a+b）-2（4+2a+b）=2．
假設|f（1）|，|f（2）|，|f（3）|都小于

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2

，
則 |f(1)|＜

1

2

，|f(2)|＜

1

2

，|f(3)|＜

1

2

，
即有 -

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2

＜f(1)＜

1

2

-

1

2

＜f(2)＜

1

2

-

1

2

＜f(3)＜

1

2

∴-2＜f（1）+f（3）-2f（2）＜2
由正面可知f（1）+f（3）-2f（2）=2，
與-2＜f（1）+f（3）-2f（2）＜2矛盾，
∴假設不成立，即原命題成立．

點評：反證法是一種從反面的角度思考問題的證明方法，體現的原則是正難則反．反證法的基本思想：否定結論就會導致矛盾，證題模式可以簡要的概括為“否定→推理→否定”．實施的具體步驟是：
第一步，反設：作出與求證結論相反的假設；
第二步，歸謬：將反設作為條件，并由此通過一系列的正確推理導出矛盾；
第三步，結論：說明反設不成立，從而肯定原命題成立．