已知橢圓
的離心率為
，且經過點
．
(Ⅰ)求橢圓的方程；
(Ⅱ)如果過點
的直線與橢圓交于
兩點（點與
點不重合），
①求
的值；
②當
為等腰直角三角形時，求直線
的方程．
(Ⅰ)橢圓的方程為
；(Ⅱ) ①
；②直線的方程為
或
或
．
解析試題分析：(Ⅰ)由與離心率為，可求出方程；(Ⅱ) ①要求
的值，可設直線的方程，采用設而不求的方法求得；②由①知：
，如果為等腰直角三角形，設的中點為
，則
，利用
可求出
的值，從而求出直線的方程為．
試題解析：(Ⅰ)因為橢圓經過點，
，因為
，解得
，
所以橢圓的方程為．
(Ⅱ)①若過點的直線的斜率不存在，此時兩點中有一個點與點重合，不滿足題目條件．
所以直線的斜率存在，設其斜率為
，則的方程為
，把代入橢圓方程得
，設
，則
，
，
，
因為，所以
，
②由①知：，如果為等腰直角三角形，設的中點為，則，且
，
若
，則
，顯然滿足，此時直線的方程為；
若
，則
，解得
，所以直線的方程為
，即或．
綜上所述：直線的方程為或或．
考點：1、求橢圓方程，2、直線與二次曲線的位置關系．
科目：高中數學 來源： 題型：解答題
已知拋物線的頂點在坐標原點，焦點在
軸上，且過點
.
（1）求拋物線的標準方程；
（2）與圓
相切的直線
交拋物線于不同的兩點
若拋物線上一點
滿足
，求
的取值范圍.
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科目：高中數學 來源： 題型：解答題
已知動圓C經過點
，且在x軸上截得弦長為2，記該圓圓心的軌跡為E.
（Ⅰ）求曲線E的方程；
（Ⅱ）過點
的直線m交曲線E于A，B兩點，過A，B兩點分別作曲線E的切線，兩切線交于點C，當△ABC的面積為
時，求直線m的方程.
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科目：高中數學 來源： 題型：解答題
已知動點
與定點
的距離和它到直線
的距離之比是常數
,記
的軌跡為曲線
.
（I）求曲線的方程；
（II）設直線
與曲線交于
兩點，點
關于
軸的對稱點為
,試問：當
變化時，直線
與軸是否交于一個定點？若是，請寫出定點的坐標，并證明你的結論；若不是，請說明理由．
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科目：高中數學 來源： 題型：解答題
橢圓
的左、右焦點分別為F1(-1，0)，F2(1,0)，過F1作與x軸不重合的直線l交橢圓于A,B兩點.
(I)若ΔABF2為正三角形，求橢圓的離心率；
(II)若橢圓的離心率滿足
,
為坐標原點，求證:
.
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科目：高中數學 來源： 題型：解答題
經過點
且與直線
相切的動圓的圓心軌跡為
．點
、
在軌跡上，且關于
軸對稱，過線段
（兩端點除外）上的任意一點作直線
，使直線與軌跡在點處的切線平行，設直線與軌跡交于點
、
．
（1）求軌跡的方程；
（2）證明：
；
（3）若點到直線
的距離等于
，且△
的面積為20，求直線
的方程．
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科目：高中數學 來源： 題型：解答題
已知
是橢圓
的右焦點，圓
與
軸交于
兩點，
是橢圓
與圓
的一個交點，且
.
（Ⅰ）求橢圓的離心率；
（Ⅱ）過點與圓相切的直線
與的另一交點為
，且
的面積等于
，求橢圓的方程.
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科目：高中數學 來源： 題型：解答題
在直角坐標平面內，y軸右側的一動點P到點
的距離比它到
軸的距離大
（Ⅰ）求動點
的軌跡
的方程；
（Ⅱ）設
為曲線上的一個動點，點
，在軸上，若
為圓
的外切三角形，求面積的最小值.
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科目：高中數學 來源： 題型：解答題
在平面直角坐標系
中,已知
,直線
, 動點
到
的距離是它到定直線
距離的
倍. 設動點的軌跡曲線為
.
（1）求曲線的軌跡方程.
（2）設點
, 若直線
為曲線的任意一條切線,且點、
到的距離分別為
,試判斷
是否為常數,請說明理由.
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