Question

【題目】已知函數，令.

（1）當時，求函數的單調遞增區間；

（2）若關于的不等式恒成立，求整數的最小值；

（3）若，正實數滿足，證明： .

Answer 1

【答案】（1）（2）最小值為.（3）見解析

【解析】試題分析：（1）求出導函數并由導函數大于零求出不等式的解，從而得到函數的單調遞增區間；（2）又不等式求參數范圍，常常把不等式化為一邊是零的形式即等價于，接下來對參數m討論求函數的最大值，從而求出m的最小值．（3）構造創設出關于的不等式，從而得證．

試題解析：（1）

由得又所以．所以的單增區間為．

（2）令

所以．

當時，因為，所以所以在上是遞增函數，

又因為

所以關于的不等式不能恒成立．

當時， ．

令得，所以當時， 當時， ．

因此函數在是增函數，在是減函數．

故函數的最大值為

令因為

又因為在上是減函數，所以當時， ．

所以整數的最小值為2．

（3）當時，

由即

從而

令則由得，

可知在區間（0，1）上單調遞減，在區間上單調遞增．所以

所以即成立．