Question

（本小題滿分14分）
已知橢圓中心在原點，焦點在x軸上，離心率，過橢圓的右焦點且垂直于長軸的弦長為
（Ⅰ）求橢圓的標準方程；
（Ⅱ）已知直線與橢圓相交于兩點，且坐標原點到直線的距離為，的大小是否為定值？若是求出該定值，不是說明理由.

Answer 1

（Ⅰ）（Ⅱ）的大小為定值，且

解析試題分析：（I）設橢圓方程為                        ……1分
因為
則
于是                                               ……4分
因為                             ……5分
故橢圓的方程為                                              ……6分
（Ⅱ）當直線l的斜率不存在時，由坐標原點到直線的距離為可知
,
∴,∴,                                            ……8分
當直線l的斜率存在時，設直線l的方程為, ,     ……9分
∵原點到直線的距離為,
∴，整理得（*）,                           ……10分
                        ……11分
,
將（*）式代入得,                      ……12分


,                     ……13分
∴ 
綜上分析，的大小為定值，且.                          ……14分
考點：本小題主要橢圓標準方程的求解和直線與橢圓位置關系的判斷和應用.
點評：解決直線與圓錐曲線的位置關系題目時，如果需要設直線方程，則不要漏掉直線斜率不存在的情況；聯立直線方程與圓錐曲線方程后，不要忘記驗證判別式大于零.