Question

【題目】已知a＞0，b∈R，函數f（x）=4ax2﹣2bx﹣a+b，x∈[0，1]．
（1）當a=b=2時，求函數f（x）的最大值；
（2）證明：函數f（x）的最大值|2a﹣b|+a；
（3）證明：f（x）+|2a﹣b|+a≥0．

Answer 1

【答案】
（1）解：當a=b=2時，f（x）=8x2﹣4x，x∈[0，1]．

對稱軸為x= ，f（0）=0，f（1）=4，

可得f（x）的最大值為4；

（2）證明：f（x）的對稱軸為x= ，

當 ＞1時，區間[0，1]為減區間，

可得f（x）的最大值為f（0）=b﹣a，

由b＞4a＞2a，可得|2a﹣b|+a=b﹣2a+a=b﹣a，

則f（0）=|2a﹣b|+a；

當 ＜0時，區間[0，1]為增區間，

可得最大值為f（1）=3a﹣b，

由b＜0，可得|2a﹣b|+a=2a﹣b+a=3a﹣b=f（1）；

當0≤ ≤1時，區間[0， ]為減區間，[ ，1]為增區間，

若f（0）≤f（1），即b≤2a，可得最大值為f（1）=3a﹣b=|2a﹣b|+a；

若f（0）＞f（1），即2a＜b≤4a，可得最大值為f（0）=b﹣a=|2a﹣b|+a．

綜上可得函數f（x）的最大值|2a﹣b|+a；

（3）證明：要證f（x）+|2a﹣b|+a≥0恒成立，

只需證f（x）min+|2a﹣b|+a≥0，

設f（x）的最小值為m，最大值為M，由（Ⅱ）得M=|2a﹣b|+a，

由f（x）的對稱軸為x= ，

當 ＞1時，區間[0，1]為減區間，可得m=f（1）=3a﹣b，

則M+m=b﹣2a+a+3a﹣b=2a＞0；

當 ＜0時，區間[0，1]為增區間，可得m=f（0）=b﹣a，

M=f（1）=3a﹣b，則M+m=2a＞0；

當0≤ ≤1時，區間[0， ]為減區間，[ ，1]為增區間，

可得m=f（ ）= ，

若f（0）≤f（1），即b≤2a，可得M=f（1）=3a﹣b，

M+m= ≥ =a＞0；

若f（0）＞f（1），即2a＜b≤4a，可得M=f（0）=b﹣a，

M+m= = ，

由于2a＜b≤4a，可得M+m∈（a，2a]，即為M+m＞0．

綜上可得M+m＞0恒成立，

即有f（x）+|2a﹣b|+a≥0

【解析】（1）求出當a=b=2時，f（x）的解析式，求出對稱軸，求得端點的函數值，可得f（x）的最大值；（2）求出對稱軸，討論區間和對稱軸的關系，結合單調性，可得最大值；（3）要證f（x）+|2a﹣b|+a≥0恒成立，只需證f（x）min+|2a﹣b|+a≥0，設f（x）的最小值為m，最大值為M，由（Ⅱ）得M=|2a﹣b|+a，求出對稱軸，討論對稱軸和區間[0，1]的關系，可得最值，即可證明M+m＞0．
【考點精析】掌握函數的最值及其幾何意義和二次函數的性質是解答本題的根本，需要知道利用二次函數的性質（配方法）求函數的最大（小）值；利用圖象求函數的最大（小）值；利用函數單調性的判斷函數的最大（小）值；當時，拋物線開口向上，函數在上遞減，在上遞增；當時，拋物線開口向下，函數在上遞增，在上遞減．