Question

【題目】若拋物線的焦點為，是坐標原點，為拋物線上的一點，向量與軸正方向的夾角為60°，且的面積為.

（1）求拋物線的方程；

（2）若拋物線的準線與軸交于點，點在拋物線上，求當取得最大值時，直線的方程.

Answer 1

【答案】(1) ；(2) 或

【解析】

(1)先設的坐標為，根據向量與軸正方向的夾角為60°，可得出，再利用三角形的面積公式可求得的值即可求出拋物線的方程；

(2) 先設的坐標為，利用兩點間的距離公式分別求出，，再利用基本不等式求出取得最大值時點的坐標，即可求出直線的方程.

(1))設的坐標為，(如圖)

因為向量與軸正方向的夾角為60°,，

所以，

根據拋物線定義得：，

即，解得：即，

則，

解得：即拋物線的方程為：；

(2) 設的坐標為，，則

，

因為點在拋物線：上，即有：，

所以，

，

因此

當且僅當即時等號成立，

此時，，

所以直線的方程為：

或