Question

已知橢圓C的兩焦點F₁（-1，0）、F₂（1，0），離心率為

1

2

，直線l：y=kx（k＞0）與橢圓C交于P、Q兩點，點P在x軸上的射影為點M．
（Ⅰ）求橢圓C的標準方程；
（Ⅱ）求直線l的方程，使△PQM的面積最大，并求出這個最大值．

Answer 1

考點：直線與圓錐曲線的綜合問題

專題：圓錐曲線中的最值與范圍問題

分析：（Ⅰ）設橢圓方程為

x2

a2

+

y2

b2

=1(a＞b＞0)，由已知條件推導出c=1，

c

a

=

1

2

，由此能求出橢圓C的標準方程．
（Ⅱ）由

y=kx x2 4 + y2 3 =1

，得：3x²+4k²x²=12，由此利用三角形面積公式和均值定理能求出直線l的方程和△PQM的面積的最大值．

解答： 解：（Ⅰ）設橢圓方程為

x2

a2

+

y2

b2

=1(a＞b＞0)，
∵橢圓C的兩焦點F₁（-1，0）、F₂（1，0），
∴c=1…（1分）
∵橢圓C的離心率為

1

2

，∴

c

a

=

1

2

，
解得a=2，b²=3…（3分）
∴橢圓C的標準方程為：

x2

4

+

y2

3

=1．         …（4分）
（Ⅱ）由

y=kx x2 4 + y2 3 =1

，得：3x²+4k²x²=12，
xP2=

12

4k2+3

…（6分）
S△PQM=2S△OPM=2×

1

2

|OM|•|PM|=|xP|•|yp|=kxP2
=

12k

4k2+3

…（8分）
=

12

4k+ 3 k

≤

12

2 12

=

3

…（10分）
當且僅當4k=

3

k

，即k=

3

2

時取等號，…（11分）
此時，直線l的方程為：y=

3

2

x，
△PQM的面積的最大值為

3

．…（12分）

點評：本題主要考查直線與橢圓的有關知識、函數求最值的方法，數形結合的思想方法和運算求解能力．