Question

已知數列{a_n}滿足遞推關系，a_n+1=

2an2+3an+m

an+1

（n∈N^*），又a₁=1．
（1）當m=1時，求證數列{a_n+1}為等比數列；
（2）當m在什么范圍取值時，能使數列{a_n}滿足不等式a_n+1≥a_n恒成立？
（3）當-3≤m＜1時，證明：

1

a1+1

+

1

a2+1

+…+

1

an+1

≥1-

1

2n

．

Answer 1

考點：數列與不等式的綜合,數列遞推式

專題：等差數列與等比數列

分析：（1）由已知條件推導出a_n+1+1=2（a_n+1），由此能證明{a_n+1}是等比數列．
（2）由a_n+1≥a_n，得m≥-(an+1)2+1恒成立，由此能推導出當m≥-3時，能使數列{a_n}滿足不等式a_n+1≥a_n恒成立．
（3）設cn=

1

an+1

，則cn+1=

1

an+1+1

=

1

2an2+3an+m an+1 +1

=

an+1

2(an+1)2+m-1

，由此能證明

1

a1+1

+

1

a2+1

+…+

1

an+1

≥1-

1

2n

．

解答： （1）解：由an+1=

2 a 2 n +3an+1

an+1

=

(2an+1)(an+1)

an+1

=2an+1，
得a_n+1+1=2（a_n+1），
∵a₁+1≠0，
∴{a_n+1}是等比數列．…（4分）
（2）解：由a_n+1≥a_n，a₁=1，得a_n≥1，
∴

2 a 2 n +3an+m

an+1

≥an，
∴m≥-an2-2an，…（6分）
∴m≥-(an+1)2+1恒成立，
∵a_n≥1，∴m≥-2²+1=-3，
∴當m≥-3時，能使數列{a_n}滿足不等式a_n+1≥a_n恒成立．…（9分）
（3）證明：由（2）得當-3≤m＜1時，a_n+1≥a_n，∴a_n＞0，
設cn=

1

an+1

，
則cn+1=

1

an+1+1

=

1

2an2+3an+m an+1 +1

=

an+1

2(an+1)2+m-1

，
∵m＜1，∴m-1＜0，
∴cn+1＞

an+1

2(an+1)2

=

1

2(an+1)

=

1

2

cn，
∵c1=

1

a1+1

=

1

2

，
∴cn＞

1

2

cn-1＞

1

22

cn-2＞…＞

1

2n-1

c1=

1

2n

(n≥2)，
∴c1+c2+c3+…cn＞

1

2

+

1

22

+

1

23

+…

1

2n

=

1 2 (1- 1 2n )

1- 1 2

=1-

1

2n

(n≥2)，
∴

1

a1+1

+

1

a2+1

+…+

1

an+1

≥1-

1

2n

．…（14分）

點評：本題考查數列為等比數列的證明，考查使不等式恒成立的實數的取值范圍的求法，考查不等式的證明，解題時要認真審題，注意等價轉化思想的合理運用．