Question

已知△ABC的面積為S，且|

BC

|²=

CA

•

CB

+2S．
（1）求B的大小；
（2）若S=

1

2

，且|

BC

-

BA

|=1，試求△ABC最長(zhǎng)邊的長(zhǎng)度．

Answer 1

考點(diǎn)：平面向量數(shù)量積的運(yùn)算

專(zhuān)題：平面向量及應(yīng)用

分析：（1）由|

BC

|²=

CA

•

CB

+2S，可得a2=bacosC+2×

1

2

absinC，即a=bcosC+bsinC，再利用正弦定理、三角形的內(nèi)角和定理、誘導(dǎo)公式、兩角和差的正弦公式、同角三角函數(shù)的基本關(guān)系式即可得出．
（2）由|

BC

-

BA

|=|

AC

|=1，可得b=1．利用三角形的面積計(jì)算公式可得

1

2

acsin

π

4

=

1

2

，再利用余弦定理可得a²+c²=3．聯(lián)立解得即可．

解答： 解：（1）∵|

BC

|²=

CA

•

CB

+2S，
∴a2=bacosC+2×

1

2

absinC，化為a=bcosC+bsinC，
由正弦定理可得sinA=sinBcosC+sinBsinC．
在△ABC中，sinA=sin（B+C），sinC≠0，B∈（0，π）．
∴sinBcosC+cosBsinC=sinBcosC+sinBsinC，
化為cosBsinC=sinBsinC，
∴cosB=sinB，
∴tanB=1，
∴B=

π

4

．
（2）∵|

BC

-

BA

|=|

AC

|=1，∴b=1．
∵S=

1

2

，
∴

1

2

acsin

π

4

=

1

2

，化為ac=

2

，
由余弦定理可得b²=a²+c²-2accosB，
即12=a2+c2-2ac×

2

2

，化為a²+c²=3．
聯(lián)立

ac= 2 a2+c2=3

，
解得

a= 2 c=1

或

a=1 c= 2

．
故△ABC最長(zhǎng)邊的長(zhǎng)度為

2

．

點(diǎn)評(píng)：本題綜合考查了向量的數(shù)量積運(yùn)算、正弦與余弦定理、三角形的內(nèi)角和定理、誘導(dǎo)公式、兩角和差的正弦公式、同角三角函數(shù)的基本關(guān)系式登高基礎(chǔ)知識(shí)與基本技能方法，考查了推理能力和計(jì)算能力，屬于難題．