Question

【題目】已知函數.

（1）求在點處的切線方程；

（2）若方程有兩個實數根，，且，證明.

Answer 1

【答案】（1）.（2）證明見解析

【解析】

（1）由f（﹣1）＝0，f′（x）＝（x+1）（ex﹣1），可得f′（﹣1）1．利用點斜式可得切線方程．

（2）由（1）知f（x）在（﹣1，0）處的切線方程s（x），令F（x）＝f（x）﹣s（x），求得導數和單調性，可得f（x）≥s（x），解方程s（x）＝b得其根x'1，運用函數的單調性，所以x'1≤x1，；另一方面，f（x）在點（1，2e﹣2）處的切線方程為t（x），構造G（x）＝f（x）﹣t（x），同理可得f（x）≥t（x），解方程t（x）＝b得其根x'2，運用函數的單調性，所以x2≤x'2．根據不等式的基本性質即可得出結論．

（1），

，，

所以切線方程為.

（2）由（1）知在點處的切線方程為.

設

構造，，

.

所以在上單調遞減，在上單調遞增.

又，，，所以在上單調遞減，在上單調遞增.所以.當且僅當時取“”

∵方程的根.又，由在上

單調遞減，所以.

另一方面，在點處的切線方程為.

設

構造.

，.

所以在上單調遞減，在上單調遞增.

又，，，所以在上單調遞減，在上單調遞增.所以，

當且僅當時取“”

∵方程的根，又，由

在上單調遞增，所以.所以，得證.