Question

以下是粵西地區某縣搜集到的新房屋的銷售價格y和房屋的面積x的數據：

（1）畫出數據散點圖；
（2）由散點圖判斷新房屋銷售價格y和房屋面積x是否具有線性相關關系？若有，求線性回歸方程．（保留四位小數）
（3）根據房屋面積預報銷售價格的回歸方程，預報房屋面積為150m²時的銷售價格．
參考公式：b=

n i=1 (xi- . x )(yi- . y )

n i=1 (xi- . x )2

，a=

.

y

-b

.

x

參考數據：

.

x

=

1

5

(115+110+80+135+105)=109，

.

y

=

1

5

(24.8+21.6+18.4+29.2+22)=23.2        

5

i=1

(xi-

.

x

)(yi-

.

y

)=308，

5

i=1

(xi-

.

x

)2=1570．

Answer 1

分析：（1）根據表中所給的五組數據，得到對應的五個點的坐標，在平面直角坐標系中畫出五個點，得到這組數據的散點圖．
（2）先求出橫標和縱標的平均數，得到這組數據的樣本中心點，利用最小二乘法求出線性回歸方程的系數，利用樣本中心點求出a的值，寫出線性回歸方程．
（3）將x=150代入回歸直線方程求出y的值即為當房屋面積為150m²時的銷售價格的估計值．

解答：解（1）數據對應的散點圖如圖所示：（3分）
（2）從散點圖可以看出，樣本點呈條狀分布，房屋銷售面積與銷售價格有比較好的線性相關關系，（4分）
設所求回歸直線方程為

.

y

=bx+a，
則b=

n i=1 (xi- . x )(yi- . y )

n i=1 (xi- . x )2

=

308

1570

≈0.1962，（6分）
a=

.

y

-b

.

x

=23.2-109×

308

1570

≈1.8166，…（8分）
故所求回歸直線方程為

.

y

=0.1962x+1.8166．…（10分）
（3）當x=150㎡時，銷售價格的估計值為：

.

y

=0.1962×150+1.8166=31.2466（萬元）．…（14分）

點評：本題考查線性回歸方程的求法和應用，本題解題的關鍵是利用最小二乘法求出線性回歸方程的系數，再進一步根據樣本中心點求出a的值，注意把一個自變量的值代入線性回歸方程，得到的是一個預報值，本題是一個中檔題目．