Question

【題目】已知函數f（x）=|2x﹣a|+|x﹣1|，a∈R．
（Ⅰ）若不等式f（x）≥2﹣|x﹣1|恒成立，求實數a的取值范圍；
（Ⅱ）當a=1時，直線y=m與函數f（x）的圖象圍成三角形，求m的最大值及此時圍成的三角形的面積．

Answer 1

【答案】解：（I）∵f（x）≥2﹣|x﹣1|恒成立，即|x﹣ |+|x﹣1|≥1恒成立， 又|x﹣ |+|x﹣1|≥|x﹣ ﹣（x﹣1）|=|1﹣ |，
∴|1﹣ |≥1，解得a≤0或a≥4．
∴a的取值范圍是（﹣∞，0]∪[4，+∞）．
（II）當a=1時，f（x）=|2x﹣1|+|x﹣1|= ，
做出f（x）的函數圖象如圖所示：

由圖象可知當 ＜m≤1時，直線y=m與f（x）的圖象構成三角形．
∴m的最大值為1，
令2﹣3x=1得x= ，此時圍成三角形的面積為 （1﹣ ）×（1﹣ ）=
【解析】（I）利用絕對值三角不等式得出|x﹣ |+|x﹣1|的最小值，從而解出a的范圍；（II）做出f（x）的函數圖象，根據函數圖象得出m的范圍．
【考點精析】根據題目的已知條件，利用絕對值不等式的解法的相關知識可以得到問題的答案，需要掌握含絕對值不等式的解法：定義法、平方法、同解變形法，其同解定理有；規律：關鍵是去掉絕對值的符號．