Question

如圖所示,四棱錐SABCD的底面是正方形,每條側(cè)棱的長(zhǎng)都是底面邊長(zhǎng)的倍,P為側(cè)棱SD上的點(diǎn).

(1)求證:AC⊥SD;
(2)若SD⊥平面PAC,求二面角PACD的大小;
(3)在(2)的條件下,側(cè)棱SC上是否存在一點(diǎn)E,使得BE∥平面PAC?若存在,求SE∶EC的值;若不存在,試說(shuō)明理由.

Answer 1

（1）證明詳見(jiàn)解析；（2）30°；（3）存在  SE∶EC=2∶1

試題分析：（1）設(shè)AC交BD于O,以 、、分別為S,D,C,
x軸、y軸、z軸的正方向,建立空間直角坐標(biāo)系，則S,D,C,
求出，的坐標(biāo)，并計(jì)算得到·=0，從而AC⊥SD.（2）為平面PAC的一個(gè)法向量，
為平面DAC的一個(gè)法向量，向量與的夾角等于二面角PACD的平面角，根據(jù)向量的夾角公式計(jì)算出與的夾角即可.（3）假設(shè)存在一點(diǎn)E使BE∥平面PAC，設(shè)=t(0≤t≤1),則=+=+t,因?yàn)?img src="http://thumb.zyjl.cn/pic2/upload/papers/20140824/20140824030108908357.png" style="vertical-align:middle;" />·=0，可建立關(guān)于t的等式，解之即可.
試題解析：(1)證明:連接BD,設(shè)AC交BD于O,
由題意知SO⊥平面ABCD,以O(shè)為坐標(biāo)原點(diǎn),、、分別為
x軸、y軸、z軸的正方向,建立空間直角坐標(biāo)系.

設(shè)底面邊長(zhǎng)為a,，則高SO=a.于是S,D,C,
=,=,·=0,故OC⊥SD,從而AC⊥SD.  4分
(2)解:由題設(shè)知,平面PAC的一個(gè)法向量為=,
平面DAC的一個(gè)法向量為=,則cos<,>==,
故所求二面角的大小為30°. 8分
(3)解:在棱SC上存在一點(diǎn)E使BE∥平面PAC.，由(2)知是平面PAC的一個(gè)法向量,
且=,=,        設(shè)=t(0≤t≤1),
=+=+t=,而·=0t=,
即當(dāng)SE∶EC=2∶1時(shí),BE∥平面PAC.          12分