Question

【題目】已知函數f（x）=x3﹣3ax+2（a∈R）．
（1）當a=1時，求曲線y=f（x）在點（0，f（0））處的切線方程；
（2）求函數f（x）在區間[0，1]上的最小值．

Answer 1

【答案】
（1）解：當a=1時，f（x）=x3﹣3x+2，切點為（0，2），

∴f′（x）=3x2﹣3，

∴切線的斜率為k=f′（0）=﹣3，

則切線方程為y=﹣3x+2，即3x+y﹣2=0

（2）解：f′（x）=3x2﹣3a=3（x2﹣a）．

當a≤0時，f′（x）≥0，∴f（x）在[0，1]上為增函數，

∴f（x）min=f（0）=2；

當a＞0時，f′（x）= ．

①若0＜ ，即0＜a＜1時，

當0 時，f′（x）＜0，當 時，f′（x）＞0．

∴f（x）在[0， ）上為減函數，在（ ]上為增函數．

∴ ；

②若 ，即a≥1時，f′（x）≤0，∴f（x）在[0，1]上為減函數．

∴f（x）min=f（1）=3﹣3a．

綜上：

【解析】（1）把a=1代入函數解析式，求出切點坐標，并求出f′（0），然后由直線方程的點斜式得答案；（2）求出原函數的導函數，對a分類分析，當a≤0時，f′（x）≥0，得f（x）在[0，1]上為增函數，求得函數最小值；當a＞0時，f′（x）= ．然后由1分界討論求得函數的最小值．
【考點精析】掌握函數的最大(小)值與導數是解答本題的根本，需要知道求函數在上的最大值與最小值的步驟：（1）求函數在內的極值；（2）將函數的各極值與端點處的函數值，比較，其中最大的是一個最大值，最小的是最小值．