Question

【題目】如圖，在四棱錐中，底面為直角梯形， ， 和均為等邊三角形，且平面平面，點為中點.

（1）求證： 平面；

（2）若的面積為，求四棱錐的體積.

Answer 1

【答案】（1）見解析；（2）．

【解析】試題分析：（1）由線線平行得出線面平行；（2）由的面積為，求出，再算出四棱錐的體積。

試題解析：（1）取的中點，連接， ；

取的中點，連接，

因為是正三角形，所以.

因為，所以四邊形為矩形，

從而， .

因為為的中位線,

所以， ，即， ，

所以四邊形是平行四邊形，

從而，

又面，

所以面.

（2）取的中點，連接，則.

過點作交于.

因為，面面，面面

所以面.

又因為面，

所以.

又因為， ， 、面，

所以面，

又因為面，

所以.

由于為中點，易知.

設(shè)，則的面積為，

解得，從而， .

因此，四棱錐的體積為

.