Question

【題目】已知函數.

（1）討論的單調性；

（2）若，試判斷的零點個數.

Answer 1

【答案】（1）當時，在上是增函數，

當，在上是增函數，在上是減函數，在上是增函數，

當時，在上是增函數，在上是減函數，在上是增函數；

（2）1

【解析】

（1）對求導后對進行分類討論，找到和的區間，即為的單調區間.

（2）由（1）可知時，有極大值和極小值，研究他們的正負，并且找到令的點，根據零點存在定理，找出零點個數.

（1）函數的定義域為，，令，則，，

（i）若，則恒成立，所以在上是增函數，

（ii）若，則，

當時，，是增函數，

當時，，是減函數，

當時，，是增函數，

（iii）若，則，

當時，，是增函數，

當時，，是減函數，

當時，，是增函數，

綜上所述：當時，在上是增函數，

當，在上是增函數，在上是減函數，在上是增函數，

當時，在上是增函數，在上是減函數，在上是增函數；

（2）當時，

在上是增函數，在上是減函數，在上是增函數，

所以的極小值為，

的極大值為,

設，其中，

,

所以在上是增函數，

所以，

因為，

所以有且僅有1個，使.

所以當時，有且僅有1個零點.