Question

【題目】我國南北朝時期的數(shù)學(xué)家祖暅提出了計算體積的祖暅原理：“冪勢既同，則積不容異。”意思是：兩個等高的幾何體若在所有等高處的水平截面的面積相等，則這兩個幾何體的體積相等.已知曲線，直線為曲線在點(diǎn)處的切線.如圖所示，陰影部分為曲線、直線以及軸所圍成的平面圖形，記該平面圖形繞軸旋轉(zhuǎn)一周所得的幾何體為.給出以下四個幾何體：

① ② ③ ④

圖①是底面直徑和高均為的圓錐；

圖②是將底面直徑和高均為的圓柱挖掉一個與圓柱同底等高的倒置圓錐得到的幾何體；

圖③是底面邊長和高均為的正四棱錐；

圖④是將上底面直徑為，下底面直徑為，高為的圓臺挖掉一個底面直徑為，高為的倒置圓錐得到的幾何體.

根據(jù)祖暅原理，以上四個幾何體中與的體積相等的是（ ）

A. ①B. ②C. ③D. ④

Answer 1

【答案】A

【解析】

將題目中的切線寫出來，然后表示出水平截面的面積，因為是陰影部分旋轉(zhuǎn)得到，所以水平界面面積為環(huán)形面積，整理后，與其他四個幾何體進(jìn)行比較，找到等高處的水平截面的面積相等的，即為所求.

幾何體是由陰影旋轉(zhuǎn)得到，所以橫截面為環(huán)形，

且等高的時候，拋物線對應(yīng)的點(diǎn)的橫坐標(biāo)為，切線對應(yīng)的橫坐標(biāo)為

，

切線為，即，

橫截面面積

圖①中的圓錐高為1，底面半徑為，可以看成由直線繞軸旋轉(zhuǎn)得到

橫截面的面積為.

所以幾何體和①中的圓錐在所有等高處的水平截面的面積相等，所以二者體積相等，

故選A項.