Question

【題目】在空間中，過點A作平面π的垂線，垂足為B，記B=fπ（A）．設α，β是兩個不同的平面，對空間任意一點P，Q1=fβ[fα（P）]，Q2=fα[fβ（P）]，恒有PQ1=PQ2 ， 則（ ）
A.平面α與平面β垂直
B.平面α與平面β所成的（銳）二面角為45°
C.平面α與平面β平行
D.平面α與平面β所成的（銳）二面角為60°

Answer 1

【答案】A
【解析】解：設P1=fα（P），則根據(jù)題意，得點P1是過點P作平面α垂線的垂足
∵Q1=fβ[fα（P）]=fβ（P1），
∴點Q1是過點P1作平面β垂線的垂足
同理，若P2=fβ（P），得點P2是過點P作平面β垂線的垂足
因此Q2=fα[fβ（P）]表示點Q2是過點P2作平面α垂線的垂足
∵對任意的點P，恒有PQ1=PQ2 ，
∴點Q1與Q2重合于同一點
由此可得，四邊形PP1Q1P2為矩形，且∠P1Q1P2是二面角α﹣l﹣β的平面角
∵∠P1Q1P2是直角，∴平面α與平面β垂直
故選：A

【考點精析】掌握空間中直線與平面之間的位置關系和平面與平面之間的位置關系是解答本題的根本，需要知道直線在平面內(nèi)—有無數(shù)個公共點；直線與平面相交—有且只有一個公共點；直線在平面平行—沒有公共點；兩個平面平行沒有交點；兩個平面相交有一條公共直線．