Question

【題目】如圖，在三棱柱ABC﹣A1B1C1中，側棱AA1⊥底面ABC，AB=AC=2AA1 ， ∠BAC=120°，D，D1分別是線段BC，B1C1的中點，P是線段AD的中點．

（1）在平面ABC內，試做出過點P與平面A1BC平行的直線l，說明理由，并證明直線l⊥平面ADD1A1；
（2）設（1）中的直線l交AB于點M，交AC于點N，求二面角A﹣A1M﹣N的余弦值．

Answer 1

【答案】
（1）解：在平面ABC內，過點P作直線l∥BC

∵直線l平面A1BC，BC平面A1BC，

∴直線l∥平面A1BC，

∵△ABC中，AB=AC，D是BC的中點，

∴AD⊥BC，結合l∥BC得AD⊥l

∵AA1⊥平面ABC，l平面ABC，∴AA1⊥l

∵AD、AA1是平面ADD1A1內的相交直線

∴直線l⊥平面ADD1A1；

（2）解：連接A1P，過點A作AE⊥A1P于E，過E點作EF⊥A1M于F，連接AF

由（I）知MN⊥平面A1AE，結合MN平面A1MN得平面A1MN⊥平面A1AE，

∵平面A1MN∩平面A1AE=A1P，AE⊥A1P，∴AE⊥平面A1MN，

∵EF⊥A1M，EF是AF在平面A1MN內的射影，

∴AF⊥A1M，可得∠AFE就是二面角A﹣A1M﹣N的平面角

設AA1=1，則由AB=AC=2AA1，∠BAC=120°，可得∠BAD=60°，AB=2且AD=1

又∵P為AD的中點，∴M是AB的中點，得AP= ，AM=1

Rt△A1AP中，A1P= = ；Rt△A1AM中，A1M=

∴AE= = ，AF= =

∴Rt△AEF中，sin∠AFE= = ，可得cos∠AFE= =

即二面角A﹣A1M﹣N的余弦值等于 ．

【解析】（1）在平面ABC內過點P作直線l∥BC，根據線面平行的判定定理得直線l∥平面A1BC．由等腰三角形“三線合一”得到AD⊥BC，從而得到AD⊥l，結合AA1⊥l且AD、AA1是平面ADD1A1內的相交直線，證出直線l⊥平面ADD1A1；（2）連接A1P，過點A作AE⊥A1P于E，過E點作EF⊥A1M于F，連接AF．根據面面垂直判定定理，證出平面A1MN⊥平面A1AE，從而得到AE⊥平面A1MN，結合EF⊥A1M，由三垂線定理得AF⊥A1M，可得∠AFE就是二面角A﹣A1M﹣N的平面角．設AA1=1，分別在Rt△A1AP中和△AEF中算出AE、AF的長，在Rt△AEF中，根據三角函數的定義算出sin∠AFE的值，結合同角三角函數的平方關系算出cos∠AFE的值，從而得出二面角A﹣A1M﹣N的余弦值．
【考點精析】通過靈活運用直線與平面垂直的判定，掌握一條直線與一個平面內的兩條相交直線都垂直，則該直線與此平面垂直；注意點：a)定理中的“兩條相交直線”這一條件不可忽視；b)定理體現了“直線與平面垂直”與“直線與直線垂直”互相轉化的數學思想即可以解答此題．