Question

（2008•湖北模擬）對于函數f（x），若存在x₀∈R，使f（x₀）=x₀成立，則稱x₀為f（x）的不動點．如果函數f(x)=

x2+a

bx-c

(b，c∈N*)有且僅有兩個不動點0、2，且f(-2)＜-

1

2

．
（1）試求函數f（x）的單調區間；
（2）已知各項不為零的數列{a_n}滿足4Sn•f(

1

an

)=1，求證：-

1

an+1

＜ln

n+1

n

＜-

1

an

；
（3）設bn=-

1

an

，T_n為數列{b_n}的前n項和，求證：T₂₀₀₈-1＜ln2008＜T₂₀₀₇．

Answer 1

分析：（1）利用函數f(x)=

x2+a

bx-c

(b，c∈N*)有且僅有兩個不動點0、2，可得

a=0 b=1+ c 2

，根據f(-2)＜-

1

2

可確定c的范圍，從而可確定c，b的值，進而可得函數解析式，利用導數法求函數f（x）的單調區間；
（2）由已知可得2S_n=a_n-a_n²，當n≥2時，2S_n-1=a_n-1-a_n-1²，兩式相減得（a_n+a_n-1）（a_n-a_n-1+1）=0，從而有a_n=-a_n-1或a_n-a_n-1=-1，進而可得a_n=-n，故待證不等式即為

1

n+1

＜ln

n+1

n

＜

1

n

．再構造函數用函數的思想解決；
（3）由（2）可知bn=

1

n

則Tn=1+

1

2

+

1

3

+…+

1

n

，在

1

n+1

＜ln

n+1

n

＜

1

n

中令n=1，2，3，…，2007，并將各式相加，即可得證．

解答：解：（1）設

x2+a

bx-c

=x⇒(1-b)x2+cx+a=0(b≠1)⇒

2+0=- c 1-b 2×0= a 1-b

∴

a=0 b=1+ c 2

∴f(x)=

x2

(1+ c 2 )x-c

由f(-2)=

-2

1+c

＜-

1

2

⇒-1＜c＜3
又∵b，c∈N*∴c=2，b=2
∴f(x)=

x2

2(x-1)

(x≠1)…（3分）
于是f′(x)=

2x•2(x-1)-x2•2

4(x-1)2

=

x2-2x

2(x-1)2

由f'（x）＞0得x＜0或x＞2；   由f'（x）＜0得0＜x＜1或1＜x＜2
故函數f（x）的單調遞增區間為（-∞，0）和（2，+∞），
單調減區間為（0，1）和（1，2）…（4分）
（2）由已知可得2S_n=a_n-a_n²，當n≥2時，2S_n-1=a_n-1-a_n-1²
兩式相減得（a_n+a_n-1）（a_n-a_n-1+1）=0
∴a_n=-a_n-1或a_n-a_n-1=-1
當n=1時，2a₁=a₁-a₁²⇒a₁=-1，若a_n=-a_n-1，則a₂=1這與a_n≠1矛盾
∴a_n-a_n-1=-1∴a_n=-n…（6分）
于是，待證不等式即為

1

n+1

＜ln

n+1

n

＜

1

n

．
為此，我們考慮證明不等式

1

x+1

＜ln

x+1

x

＜

1

x

，x＞0
令1+

1

x

=t，x＞0，則t＞1，x=

1

t-1

再令g（t）=t-1-lnt，g′(t)=1-

1

t

由t∈（1，+∞）知g'（t）＞0
∴當t∈（1，+∞）時，g（t）單調遞增∴g（t）＞g（1）=0于是t-1＞lnt
即

1

x

＞ln

x+1

x

，x＞0①
令h(t)=lnt-1+

1

t

，h′(t)=

1

t

-

1

t2

=

t-1

t2

由t∈（1，+∞）知h'（t）＞0
∴當t∈（1，+∞）時，h（t）單調遞增∴h（t）＞h（1）=0于是lnt＞1-

1

t

即ln

x+1

x

＞

1

x+1

，x＞0②
由①、②可知

1

x+1

＜ln

x+1

x

＜

1

x

，x＞0…（10分）
所以，

1

n+1

＜ln

n+1

n

＜

1

n

，即1-

1

an

＜ln

n+1

n

＜-

1

an

…（11分）
（3）由（2）可知bn=

1

n

則Tn=1+

1

2

+

1

3

+…+

1

n

在

1

n+1

＜ln

n+1

n

＜

1

n

中令n=1，2，3，…，2007，并將各式相加得

1

2

+

1

3

+…+

1

2008

＜ln

2

1

+ln

3

2

+…+ln

2008

2007

＜1+

1

2

+

1

3

+…+

1

2007

即T₂₀₀₈-1＜ln2008＜T₂₀₀₇…（14分）

點評：本題以函數為載體，考查新定義，考查函數解析式，考查數列與不等式，有較大的難度．