Question

平行六面體ABCD-A₁B₁C₁D₁的底面是矩形，側棱長為2cm，點C₁在底面ABCD上的射影H是CD的中點，CC₁與底面ABCD成60°的角，二面角A-CC₁-D的平面角等于30°，求此平行六面體的表面積．

Answer 1

分析：平行六面體的表面積是各個面的面積和，相對的兩個面相同；故由側棱長為2cm，點C₁在底面ABCD上的射影H是CD的中點，CC₁與底面ABCD成60°的角，可求出側面CDD₁C₁的面積；由二面角A-CC₁-D的平面角等于30°，可以求出底面邊長AD，從而求出底面矩形ABCD的面積和側面矩形ADD₁A₁的面積；即得此平行六面體的表面積．

解答：解：如圖，在平行六面體 ABCD-A₁B₁C₁D₁中，底面ABCD是矩形，∴CD⊥BC，
又點C₁在底面ABCD上的射影H是CD的中點，
∴C₁H⊥平面ABCD，∴C₁H⊥BC，∴BC⊥平面CDD₁C₁，∴BC⊥CC₁，
∴∠C₁CH是CC₁與底面ABCD成的角，即∠C₁CH=60°；
又CC₁=2，∴C1H=

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，CH=1，∴CD=2CH=2，
∴?CDD₁C₁的面積為：S₁=CD•C₁H=2×

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=2

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；
又由BC∥AD，且BC⊥平面CDD₁C₁，
∴AD⊥平面CDD₁C₁；過點D作DE⊥CC₁，垂足為E，連接AE，則AE⊥CC₁；
∴∠AED是二面角A-CC₁-D的平面角，∴∠AED=30°．
在Rt△AED中，DE=

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，∠ADE=90°，∴AD=1，
∴矩形ABCD的面積為：S₂=AD•CD=1×2=2，矩形ADD₁A₁的面積為：S₃=AD•DD₁=1×2=2，
所以，平行六面體ABCD-A₁B₁C₁D₁的表面積為：S=2S₁+2S₂+2S₃=4

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+4+4=8+4

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．

點評：本題是求多面體的表面積，即各個面的面積和；本題的關鍵是用好直線與平面所成的角，二面角的平面角．