Question

如圖已知平行六面體ABCD-A′B′C′D′，E、F、G、H分別是棱A′D′、D′C′、C′C和AB的中點，求證E、F、G、H四點共面．

Answer 1

分析：取

ED′

=

a

，

EF

=

b

，

EH

=

c

，則根據平行六面體的性質和向量加法法則得

HG

=

HB

+

BC

+

CG

=

D′F

+2

ED′

+

1

2

AA′

．結合空間向量的線性運算法則，化簡得

HG

=

3

2

b

-

1

2

c

，可得向量

HG

與

EF

、

EH

是共面向量．由此即可證出E、F、G、H四點共面．

解答：解：取

ED′

=

a

，

EF

=

b

，

EH

=

c

，則
∵多面體ABCD-A′B′C′D′是平行六面體，
且E、F、G、H分別是棱A′D′、D′C′、C′C和AB的中點，
∴

HB

=

D′F

=

b

-

a

，

BC

=2

ED′

=2

a

，且

CG

=

1

2

AA′

，

HG

=

HB

+

BC

+

CG

=

D′F

+2

ED′

+

1

2

AA′

=（

b

-

a

）+2

a

+

1

2

（

AH

+

HE

+

EA′

）=

b

+

a

+

1

2

（

b

-

a

-

c

-

a

）=

3

2

b

-

1

2

c

，
∴

HG

與

b

、

c

共面，即

HG

與

EF

、

EH

共面
由此可得E、F、G、H四點共面．

點評：本題給出平行六面體的棱的中點，求證E、F、G、H四點共面．著重考查了空間向量的加法法則、線性運算法則和平行六面體的性質等知識，屬于中檔題．