Question

如圖，在平行六面體ABCD-A₁B₁C₁D₁中，底面是邊長為1的正方形，若∠A1AB=∠A1AD=600，且A₁A=3，則A₁C的長為

 

．

Answer 1

分析：利用平行六面體的性質、向量的運算性質、數量積、模的計算公式即可得出．

解答：解：在平行六面體ABCD-A₁B₁C₁D₁中，∠A1AB=∠A1AD=600，∴∠BCC1=∠DCC1=120°，
又∵A₁A=3，BC=DC=1，∴

CB

•

CC1

=

CD

•

CC1

=|

CD

| |

CC1

|cos120°=-

3

2

．
∵底面是邊長為1的正方形，∴∠BCD=90°，∴

CB

•

CD

=|

CB

| |

CD

|cos90°=0．
∵

CA1

=

CB

+

CD

+

CC1

，
∴

CA1

2=(

CB

+

CD

+

CC1

)2=

CB

2+

CD

2+

CC1

2+2

CB

•

CC1

+2

CD

•

CC1

+2

CB

•

CD

=12+12+32+2×(-

3

2

)×2+0=5．
∴|

CA1

|=

5

．
故答案為

5

．

點評：熟練掌握平行六面體的性質、向量的運算性質、數量積、模的計算公式是解題的關鍵．