Question

【題目】已知橢圓C的中心在原點O，焦點在x軸上，離心率為 ，橢圓C上的點到右焦點的最大距離為3．
（1）求橢圓C的標準方程；
（2）斜率存在的直線l與橢圓C交于A，B兩點，并且滿足|2 + |=|2 ﹣ |，求直線在y軸上截距的取值范圍．

Answer 1

【答案】
（1）解：設橢圓C的方程為： =1（a＞b＞0），半焦距為c．

依題意e= = ，由橢圓C上的點到右焦點的最大距離3，得a+c=3，解得c=1，a=2，

∴b2=a2﹣c2=3，

∴橢圓C的標準方程是 =1

（2）解：設直線l的方程為y=kx+m，聯立 ，化為：（3+4k2）x2+8kmx+4m2﹣12=0，

△=64k2m2﹣4（3+4k2）（4m2﹣12）＞0，化簡得3+4k2＞m2．

設A（x1，y1），B（x2，y2），

則x1+x2=﹣ ，x1x2= ，

∵|2 + |=|2 ﹣ |，∴ =0．

∴x1x2+y1y2=0，即x1x2+（kx1+m）（kx2+m）=0，化為km（x1+x2）+（1+k2）x1x2+m2=0，

∴km（﹣ ）+（1+k2）× +m2=0，

化簡得7m2=12+12k2．

將k2= ﹣1代入3+4k2＞m2．

可得m2 ，又由7m2=12+12k2≥12．

從而∴m2 ，解得m≥ ，或m≤﹣ ，．

所以實數m的取值范圍是 ∪

【解析】（1）設橢圓C的方程為： =1（a＞b＞0），半焦距為c．依題意e= = ，a+c=3，b2=a2﹣c2 ， 解出即可得出．（2）設直線l的方程為y=kx+m，與橢圓方程聯立化為：（3+4k2）x2+8kmx+4m2﹣12=0，△＞0，設A（x1 ， y1），B（x2 ， y2）．由|2 + |=|2 ﹣ |，可得 =0．x1x2+y1y2=0，即x1x2+（kx1+m）（kx2+m）=0，把根與系數的關系代入化簡與△＞0聯立解出即可得出．