Question

【題目】如圖，設橢圓C： （a＞b＞0），動直線l與橢圓C只有一個公共點P，且點P在第一象限．

（1）已知直線l的斜率為k，用a，b，k表示點P的坐標；
（2）若過原點O的直線l1與l垂直，證明：點P到直線l1的距離的最大值為a﹣b．

Answer 1

【答案】
（1）解：設直線l的方程為y=kx+m（k＜0），由 ，消去y得

（b2+a2k2）x2+2a2kmx+a2m2﹣a2b2=0．

由于直線l與橢圓C只有一個公共點P，故△=0，即b2﹣m2+a2k2=0，

此時點P的橫坐標為﹣ ，代入y=kx+m得

點P的縱坐標為﹣k +m= ，

∴點P的坐標為（﹣ ， ），

又點P在第一象限，故m＞0，

故m= ，

故點P的坐標為P（ ， ）．

（2）解：由于直線l1過原點O且與直線l垂直，故直線l1的方程為x+ky=0，所以點P到直線l1的距離

d= ，

整理得：d= ，

因為a2k2+ ≥2ab，所以 ≤ =a﹣b，當且僅當k2= 時等號成立．

所以，點P到直線l1的距離的最大值為a﹣b．

【解析】（1）設直線l的方程為y=kx+m（k＜0），由 ，消去y得（b2+a2k2）x2+2a2kmx+a2m2﹣a2b2=0，利用△=0，可求得在第一象限中點P的坐標；（2）由于直線l1過原點O且與直線l垂直，設直線l1的方程為x+ky=0，利用點到直線間的距離公式，可求得點P到直線l1的距離d= ，整理即可證得點P到直線l1的距離的最大值為a﹣b．