Question

如圖，在直三棱柱ABC-A₁B₁C₁中，底面△ABC為等腰直角三角形，∠B = 90⁰，D為棱BB₁上一點(diǎn)，且面DA₁ C⊥面AA₁C₁C.求證：D為棱BB₁中點(diǎn)；（2）為何值時，二面角A －A₁D － C的平面角為60⁰.

Answer 1

（1）見解析；（2）.

試題分析：（1）過點(diǎn)D作DE ⊥ A₁ C 于E點(diǎn)，取AC的中點(diǎn)F，連BF ﹑EF，先證直線DE⊥面AA₁C₁C，再證BF⊥面AA₁C₁C，得D，E，F(xiàn)，B共面，再證DB∥EF ，從而有EF∥AA₁，易得所證結(jié)論；（2）法1：建立空間直角坐標(biāo)系，找出所需點(diǎn)的坐標(biāo)，分別設(shè)出面DA₁C和平面AA₁DB的法向量，并列方程計(jì)算出來，再利用向量的數(shù)量積計(jì)算兩向量的夾角的余弦值，便可得得值；法2：延長A₁ D與直線AB相交于G，易知CB⊥面AA₁B₁B，過B作BH⊥A₁ G于點(diǎn)H，連CH，證明∠CHB為二面角A －A₁D － C的平面角，在CHB中，根據(jù)條件計(jì)算的表達(dá)式，可得結(jié)論.
試題解析：（1）過點(diǎn)D作DE ⊥ A₁ C 于E點(diǎn)，取AC的中點(diǎn)F，連BF ﹑EF.
∵面DA₁ C⊥面AA₁C₁C且相交于A₁ C，面DA₁ C內(nèi)的直線DE ⊥ A₁ C，∴直線DE⊥面AA₁C₁C ，3分
又∵面BA C⊥面AA₁C₁C且相交于AC，易知BF⊥AC，∴BF⊥面AA₁C₁C
由此知：DE∥BF ，從而有D，E，F(xiàn)，B共面，又易知BB₁∥面AA₁C₁C，故有DB∥EF ，從而有EF∥AA₁，
又點(diǎn)F是AC的中點(diǎn)，所以DB ＝ EF ＝  AA₁＝  BB₁，所以D點(diǎn)為棱BB₁的中點(diǎn)；  6分

（2）解法1：建立如圖所示的直角坐標(biāo)系，設(shè)AA₁＝ 2b ，AB＝BC ＝ ，則D（0,0,b）,  A₁ (a,0,2b),  C (0,a,0)，                                                  7分
所以， ,                          8分
設(shè)面DA₁C的法向量為則 可取,
又可取平面AA₁DB的法向量,
cos〈〉,          10分
據(jù)題意有：，                               12分
解得： ＝ .                                      13分

解法2：延長A₁ D與直線AB相交于G，易知CB⊥面AA₁B₁B，
過B作BH⊥A₁ G于點(diǎn)H，連CH，由三垂線定理知：A₁ G⊥CH，
由此知∠CHB為二面角A －A₁D － C的平面角；                     9分
設(shè)AA₁＝ 2b ，AB＝BC ＝；在直角三角形A₁A G中，易知AB ＝ BG.
在DBG中，BH ＝  ＝ ，                    10分
在CHB中，tan∠CHB ＝  ＝ ，
據(jù)題意有： ＝ tan60⁰ ＝  ，
解得：所以 ＝ .                           13分