Question

【題目】已知函數的周期為，圖象的一個對稱中心為，若先把函數的圖象向左平移個單位長度，然后再把所得圖象上各點的橫坐標伸長到原來的2倍（縱坐標不變），得到函數的圖象.

（1）求函數與的解析式；

（2）設函數，試判斷在內的零點個數.

Answer 1

【答案】（1），；（2）見解析.

【解析】

（1）先根據周期和對稱中心可以求得，結合圖象變換可得的解析式；

（2）先把的表達式求出，結合的取值討論零點個數.

（1）因為的周期為2，所以，

，又因為的圖象的一個對稱中心為，

所以，因為，所以，

所以，

所以.

（2）由（1）可知，，

設，因為，所以，則，

設，，則，

①當或時，在內有唯一零點，

這時，函數在內有兩個零點.

②當時，在內有兩個不等零點，

這時，函數在內有四個零點.

③當時，，由，得或，

這時，函數在內有三個零點.

④當時，，由，得或（舍），

這時，函數在內有兩個零點.

綜上可得，當或時，在內有兩個零點；

當時，在內有三個零點；

當時，在內有四個零點.