Question

已知A，B，C是三角形△ABC三內角，向量

m

=(-1，

3

)，

n

=(cosA，sinA)，且

m

•

n

=1
（1）求角A；         
（2）若

1+sin2B

cos2B-sin2B

=-3，求tanB．

Answer 1

分析：（1）由兩向量的坐標及

m

•

n

=1，利用平面向量的數量積運算法則列出關系式，關系式左邊提取2，利用兩角和與差的正弦函數公式及特殊角的三角函數值化為一個角的正弦函數，求出這個正弦函數的函數值，由A為三角形的內角，求出這個角的范圍，利用特殊角的三角函數值即可求出A的度數；
（2）將已知等式分子中的1利用同角三角函數間的基本關系化為sin²B+cos²B，整理后根據cosB不為0，在等式左右兩邊同時除以cos²B，利用同角三角函數間的基本關系弦化切后得到關于tanB的方程，求出方程的解即可得到tanB的值．

解答：解：（1）∵

m

（-1，

3

），

n

（cosA，sinA），且

m

•

n

=1，
∴

3

sinA-cosA=2（

3

2

sinA-

1

2

cosA）=2sin（A-

π

6

）=1，
∴sin（A-

π

6

）=

1

2

，
∵0＜A＜π，∴-

π

6

＜A-

π

6

＜

5π

6

，
∴A-

π

6

=

π

6

，
∴A=

π

3

；
（2）由題知

1+2sinBcosB

cos2B-sin2B

=-3，且sin²B+cos²B=1，
整理得：sin²B-sinBcosB-2cos²B=0，
∴cosB≠0，即cos²B≠0，
∴等式左右兩邊除以cos²B得：tan²B-tanB-2=0，
∴tanB=2或tanB=-1，
而tanB=-1使cos²B-sin²B=0，舍去，
∴tanB=2．

點評：此題考查了兩角和與差的正弦函數公式，平面向量的數量積運算法則，同角三角函數間的基本關系，以及特殊角的三角函數值，本題第二問注意舍去使原式分母為0的tanB的值．