Question

【題目】如圖，已知BD為圓錐AO底面的直徑，若，C是圓錐底面所在平面內一點，，且AC與圓錐底面所成角的正弦值為.

（1）求證：平面平面ACD；

（2）求二面角的平面角的余弦值.

Answer 1

【答案】（1）證明見解析

（2）

【解析】

（1）首先找到AC與圓錐底面所成角，求出，可得，結合圓錐的性質，可證明平面AOC，進而可得平面平面ACD；

（2）解法一：建立空間直角坐標系，求出平面ACD的一個法向量和平面ABD的一個法向量，通過夾角公式，可求得兩法向量的夾角，進而得到二面角的平面角的余弦值；解法二：過點O作交于F.過F作交DC于H，連接HO，

得為二面角的平面角，通過三角形的邊角關系求出的余弦.

（1）證明：由及圓錐的性質，

所以為等邊三角形，圓O所在平面，

所以，是AC與底面所成角，

又AC與底面所成的角的正弦值為，

在中，，，

由，，

在中，，

所以，

圓錐的性質可知：圓O所在平面，

因為圓O所在平面，所以，

又AO，平面AOC，所以平面AOC，

又平面ACD，

故平面平面ACD；

（2）解法一：在圓O所在平面過點O作BD的垂線交圓O于點E，以O為坐標原點，OE為x軸，OD為y軸，OA為z軸，建立如圖空間直角坐標系，

由題可知，，，，

由，，

所以，

設平面ACD的一個法向量為，

因為，，

所以

取，則，

平面ABD的一個法向量為，

所以，

二面角的平面角的余弦值為.

解法二：過點O作交于F.過F作交DC于H，連接HO，

所以為二面角的平面角，

在中，因為，，

所以，，

因為，

所以，即

則，

故C是HD的中點，

所以，

在中，，

即，

所以.