Question

對定義在區間上的函數，若存在閉區間和常數，使得對任意的，都有，且對任意的都有恒成立，則稱函數為區間上的“型”函數．
（1）求證：函數是上的“型”函數；
（2）設是（1）中的“型”函數，若不等式對一切的恒成立，求實數的取值范圍；
（3）若函數是區間上的“型”函數，求實數和的值．

Answer 1

（1）詳見解析;（2）;（3）．

試題分析：（1）根據題意可將函數中的絕對值去掉可得一個分段函數，可作出函數的圖象，不難發現當時，；當時，，由此可易得證; （2）由（1）中的函數不難求出函數的最小值，這們即可將問題轉化為求恒成立，這是一個關于的含有絕對值的不等式，去掉絕對值可得，然后采用先分開后合并的方法求出此不等式的解集; （3）根據題中“型”函數的定義，則可假設存在閉區間和常數，使得對任意的，都有，這樣即可得到一個恒等式，即對任意恒成立，則對應系數分別相等，即可求出對應的，注意要回代檢驗一下，判斷其余的是否均大于這個最小值．
試題解析：（1）當時，；當時，，
∴ 存在閉區間和常數符合條件．                        4分
（2）對一切的恒成立，
∴ ，                        6分
解得 ．                                                    10分
（3）存在閉區間和常數，使得對任意的，
都有，即，
∴ 對任意恒成立
∴ 或                              12分
① 當時，
當時，
當，即時，
由題意知，符合條件；                                     14分
②當時，  
∴不符合要求；                                          16分
綜上，．