Question

已知拋物線y²=2px（p＞0）上一點M（1，m）（m＞0）到其焦點的距離為5，雙曲線

x2

a

-y2=1的左頂點為A，若雙曲線的一條漸近線與直線AM平行，則實數a的值是（　　）

• A、

  1

  25

• B、

  1

  9

• C、

  1

  5

• D、

  1

  3

Answer 1

分析：根據拋物線的定義，可得點M到拋物線的準線x=-

p

2

的距離也為5，即即|1+

p

2

|=5，解可得p=8，可得拋物線的方程，進而可得M的坐標；根據雙曲線的性質，可得A的坐標與其漸近線的方程，根據題意，雙曲線的一條漸近線與直線AM平行，可得

4

1+ a

=

1

a

，解可得a的值，即可得答案．

解答：解：根據題意，拋物線y²=2px（p＞0）上一點M（1，m）（m＞0）到其焦點的距離為5，則點M到拋物線的準線x=-

p

2

的距離也為5，
即|1+

p

2

|=5，解可得p=8；即拋物線的方程為y²=16x，
易得m²=2×8=16，則m=4，即M的坐標為（1，4）
雙曲線

x2

a

-y2=1的左頂點為A，則a＞0，且A的坐標為（-

a

，0），
其漸近線方程為y=±

1

a

x；
而K_AM=

4

1+ a

，
又由若雙曲線的一條漸近線與直線AM平行，則有

4

1+ a

=

1

a

，
解可得a=

1

9

；
故選B．

點評：本題綜合考查雙曲線與拋物線的性質，難度一般；需要牢記雙曲線的漸近線方程、定點坐標等．