Question

已知拋物線y²=2px（p＞0）．過動點M（a，0）且斜率為1的直線l與該拋物線交于不同的兩點A、B，|AB|≤2p．
（1）求a的取值范圍；
（2）若線段AB的垂直平分線交x軸于點N，求△NAB面積的最大值．

Answer 1

分析：（1）設出直線的方程與拋物線方程聯立消去y，設直線l與拋物線兩個不同的交點坐標為A，B，進而根據判別是對大于0，及x₁+x₂的和x₁x₂的表達式，求得AB的長度的表達式，根據|AB|的范圍確定a的范圍
（2）設AB的垂直平分線交AB于點Q，令坐標為（x₃，y₃），則由中點坐標公式求得x₃的坐標，進而求得QM的長度．根據△MNQ為等腰直角三角形，求得QN的長度，進而表示出△NAB的面積，根據|AB|范圍確定三角形面積的最大值．

解答：解：（1）直線l的方程為y=x-a
將y=x-a代入y²=2px，
得x²-2（a+p）x+a²=0．
設直線l與拋物線兩個不同的交點坐標為A（x₁，y₁）、B（x₂，y₂），
則

4(a+p)2-4a2＞0 x1+x2=2(a+p) x1x2=a2

又y₁=x₁-a，y₂=x₂-a，
∴| AB |=

(x1-x2)2+(y1-y2)2

=

2[(x1+x2)2-4x1x2]

=

8p(p+2a)

.
∵0＜|AB|≤2p，8p（p+2a）＞0，
∴0＜

8p(p+2a)

≤2p．
解得-

p

2

＜a≤-

p

4

．
（2）設AB的垂直平分線交AB于點Q，令坐標為（x₃，y₃），則由中點坐標公式，得x3=

x1+x2

2

=a+p，y3=

y1+y2

2

=

(x1-a)+(x2-a)

2

=p．
∴|QM|²=（a+p-a）²+（p-0）²=2p²，
又△MNQ為等腰直角三角形，
∴|QN|=|QM|=

2

p
∴S△NAB=

1

2

|AB|•|QN|=

2

2

p|AB|≤

2

2

p•2p=

2

p2，
即△NAB面積最大值為

2

p2．

點評：本小題考查直線與拋物線的基本概念及位置關系，考查運用解析幾何的方法解決數學問題的能力．