Question

（2009•聊城一模）已知拋物線y²=2px（p＞0），過點M（2p，0）的直線與拋物線相交于A，B，

OA

•

OB

=

0

．

Answer 1

分析：因為直線AB恒過定點（2p，0），所以設直線AB：x=ty+2p代入拋物線y²=2px消去x得，y²-2pty-4p²=0，利用韋達定理即可求得

OA

•

OB

=0．

解答：解：設直線AB：x=ty+2p代入拋物線y²=2px消去x得，y²-2pty-4p²=0，
設A（x₁，y₁），B（x₂，y₂）
所以根據根與系數的關系可得：y₁+y₂=2pt，y₁y₂=-4p²
∴

OA

•

OB

=x₁x₂+y₁y₂=（ty₁+2p）（ty₂+2p）+y₁y₂
=t²y₁y₂+2pt（y₁+y₂）+4p²+y₁y₂
=-4p²t²+4p²t²+4p²-4p²=0．
故答案為：0．

點評：本題考查了直線與拋物線的位置關系，以及直線恒過定點問題，同時考查學生的計算能力，屬于中檔題題．