Question

f（x）是定義在R上的函數，對x，y∈R都有f（x+y）=f（x）+f（y），且當x＞0時，f（x）＜0，f（-1）=2．
（1）求證：f（x）為奇函數；
（2）求證：f（x）是R上的減函數；
（3）求f（x）在[-2，4]上的最值．

Answer 1

分析：（1）賦值法：令x=y=0，可求得f（0），令y=-x，可得f（-x）與f（x）的關系，由奇函數定義即可得證；
（2）利用單調性的定義：設x₂＞x₁，通過作差證明f（x₂）＜f（x₁）即可；
（3）由（2）知：f（x）_max=f（-2），f（x）_min=f（4），根據條件及奇偶性即可求得f（-2），f（4）．

解答：證明：（1）f（x）的定義域為R，
令x=y=0，則f（0）=f（0）+f（0），∴f（0）=0，
令y=-x，則f（x-x）=f（x）+f（-x），∴f（-x）+f（x）=f（0）=0，
∴f（-x）=-f（x），
∴f（x）是奇函數．
（2）設x₂＞x₁，
則f（x₂）-f（x₁）=f（x₂）+f（-x₁）=f（x₂-x₁），
∵x₂-x₁＞0，∴f（x₂-x₁）＜0，
∴f（x₂）-f（x₁）＜0，即f（x₂）＜f（x₁），
∴f（x）在R上為減函數．
（3）∵f（-1）=2，∴f（-2）=f（-1）+f（-1）=4，
又f（x）為奇函數，∴f（2）=-f（-2）=-4，
∴f（4）=f（2）+f（2）=-8，
∵f（x）在[-2，4]上為減函數，
∴f（x）_max=f（-2）=4，f（x）_min=f（4）=-8．

點評：本題考查抽象函數奇偶性、單調性的證明及應用，抽象函數的奇偶性、單調性的判斷一般采取定義解決，而求最值則及解抽象不等式往往借助單調性．