Question

設f（x）是定義在R上的函數，且對任意實數x，恒有f（x+2）=-3f（x）．當x∈[0，2]時，f（x）=2x-x²．則f（0）+f（-1）+f（-1）+…+f（-2014）=（　　）

• A、-

  3

  4

  （1-3¹⁰⁰⁷）
• B、-

  3

  4

  （1+3¹⁰⁰⁷）
• C、-

  1

  4

  （1-

  1

  31007

  ）
• D、-

  1

  4

  （1+

  1

  31007

  ）

Answer 1

分析：根據f（x+2）=-3f（x）以及x∈[0，2]時，f（x）=2x-x²，可以發現f（0）=f（-2）=…=f（-2014）=0，從而將所求表達式分成兩組求和，而根據

f(x)

f(x+2)

=-

1

3

，發現f（-1），f（-3），…，f（-2013）構成一個等比數列，運用等比數列求和即可求得結果，最后兩組和相加即可得到所要求解的答案．

解答：解：∵當x∈[0，2]時，f（x）=2x-x²，
∴當x=0時，f（0）=0，當x=1時，f（1）=1，
又∵f（x+2）=-3f（x），
∴當x=-2時，f（0）=-3f（-2），故f（-2）=0，
當x=-1時，f（1）=-3f（-1），故f（-1）=-

1

3

，
以此類推，f（-4）=f（-6）=…=f（-2014）=0，
故f（0）+f（-2）+f（-4）+…+f（-2014）=0，
∵f（x+2）=-3f（x），
∴

f(x)

f(x+2)

=-

1

3

，
故f（-1），f（-3），f（-5），…，f（-2013）構成以f（-1）為首項，-

1

3

為公比的等比數列，
∴f（-1）+f（-3）+f（-5）+…+f（-2013）=

- 1 3 ×[1-(- 1 3 )1007]

1-(- 1 3 )

=-

1

4

(1+

1

31007

)，
∴f（0）+f（-1）+f（-1）+…+f（-2014）=[f（0）+f（-2）+f（-4）+…+f（-2014）]+[f（-1）+f（-3）+f（-5）+…+f（-2013）]=0+-

1

4

(1+

1

31007

)=-

1

4

(1+

1

31007

)，
∴f（0）+f（-1）+f（-1）+…+f（-2014）=-

1

4

(1+

1

31007

)．
故選：D．

點評：本題考查了抽象函數及其應用，函數的求值問題，涉及了等比數列的定義以及等比數列的求和．對于抽象函數的求值一般利用賦值法求解．解決本題的關鍵是將f（0）+f（-1）+f（-1）+…+f（-2014）分解成兩組進行求解，一組的和恒為定值0，另一組構成了等比數列求和．屬于中檔題．