Question

已知a=

∫

π 3 0

sinxdx，則x(x+

1

ax

)7的展開式中的常數項是

280

（用數字作答）．

Answer 1

分析：先求出a的值，再根據求x(x+

1

ax

)7的展開式中的常數項，即求(x+

2

x

)7的一次項，從而可得結論．

解答：解：由題意，a=

∫

π 3 0

sinxdx=（-cosx）

|

π 3 0

=

1

2

∴x(x+

1

ax

)7=x(x+

2

x

)7
求x(x+

1

ax

)7的展開式中的常數項，即求(x+

2

x

)7的一次項
(x+

2

x

)7的展開式的通項為Tr+1=

C

r 7

x7-r(

2

x

)r=

C

r 7

×2r×x7-2r
令7-2r=1，則r=3，
∴(x+

2

x

)7的一次項的系數為

C

3 7

×23=280
故答案為：280

點評：本題考查定積分，考查展開式中的特殊項，考查展開式的通項，屬于中檔題．