Question

已知A，B為橢圓

x2

4

+

y2

3

=1的左右兩個頂點，F為橢圓的右焦點，P為橢圓上異于A、B點的任意一點，直線AP、BP分別交橢圓的右準線于M、N點，則△MFN面積的最小值是（　　）

• A、8
• B、9
• C、11
• D、12

Answer 1

分析：先設P（s，t），由題設條件得兩直線PA，PB的方程，與準線方程聯立，解出M，N兩點的坐標，用s，t表示出線段MN的長度，再由點P在橢圓上，將點的坐標代入橢圓方程，用s表示出t，消去t，得到線段MN的長關于s的函數，又點F到準線的距離是3，由此MFN面積可表示為s的函數，由其形式知，可用判別式法求最小值

解答：解：設P（s，t），由題意直線PA的方程為

y

t

+

x-2

s+2

=1，即，直線PB的方程為

y

t

+

x+2

s-2

=1
由于橢圓

x2

4

+

y2

3

=1故a=2，b=

3

，c=1，故其右準線方程為x=

a2

c

=4，F（1，0），故F到準線的距離是3
∵直線AP、BP分別交橢圓的右準線于M、N點
∴M（4，

6

s+2

t），N（4，

2

s-2

t）
故有|MN|=|

6

s+2

t-

2

s-2

t|=|

4t(s-4)

s2-4

|
∴S²=

1

4

×|MN|²×9=

9

4

×|

4t(s-4)

s2-4

|①
又P（s，t）在橢圓上，故有t2=3-

s2

4

 代入①整理得S²=27×

(4-s)2

4-s2

令M²=

(4-s)2

4-s2

得（M²+1）s²-8s+16-4M²=0，此方程恒有根
故△=64-4（M²+1）（16-4M²）≥0
解得M²≥3，故M≥

3

或M≤-

3

（舍）
∴S²=27×

(4-s)2

4-s2

≥27×3
∴S≥9
故選B．

點評：本題主要考查了橢圓的標準方程和直線與橢圓的關系，考查了學生綜合分析問題和解決問題的能力．解題的關鍵是根據意建立起面積關于坐標的函數，掌握用判別式法求值域也是本題的一個難點，解題時運算技巧很重要．本題運算量很大，要嚴謹，避免因運算失誤導致解題失敗．