Question

袋中裝有黑球和白球共7個，從中任取2個球都是白球的概率為

1

7

，現有甲、乙兩人從袋中輪流摸取1球，甲先取，乙后取，然后甲再取…，取后不放回，直到兩人中有一人取到白球時即終止，每個球在每一次被取出的機會是等可能的，用ξ表示取球終止所需要的取球次數．
（1）求袋中原有白球的個數；
（2）求隨機變量ξ的概率分布；
（3）求甲取到白球的概率．

Answer 1

分析：（1）本題是一個等可能事件的概率，設出袋中原有n個白球，寫出試驗發生包含的事件數和滿足條件的事件數，根據等可能事件的概率公式得到關于n的方程，解方程即可．
（2）ξ的所有可能值為：1，2，3，4，5，求出ξ取每一個值時對應的概率，即得分布列，再根據分布列，依據求數學期望的公式求得期望Eξ．
（3）甲先取，甲只有可能在第1次，第3次和第5次取球．這三種情況是互斥關系，根據互斥事件的概率公式得到結果．

解答：解：（1）設袋中原有n個白球，由題意知

1

7

=

C 2 n

C 2 7

=

n(n-1) 2

7×6 2

=

n(n-1)

7×6

…（3分）
∴n（n-1）=6得n=3或n=-2（舍去），
所以袋中原有3個白球．…（5分）
（2）由題意，ξ的可能取值為1，2，3，4，5，
所以P(ξ=1)=

3

7

；  P(ξ=2)=

4×3

7×6

=

2

7

；P(ξ=3)=

4×3×3

7×6×5

=

6

35

； 
P(ξ=4)=

4×3×2×3

7×6×5×4

=

3

35

；P(ξ=5)=

4×3×2×1×3

7×6×5×4×3

=

1

35

…（10分）
所以ξ的分布列為：

ξ	1	2	3	4	5
P	3 7	2 7	6 35	3 35	1 35

…（12分）
（3）因為甲先取，所以甲只有可能在第1次，第3次和第5次取球，記”甲取到白球”為事件A，
由題意可得：P（A）=P（”ξ=1”，或”ξ=3”，或”ξ=5”）
∵事件”ξ=1”，或”ξ=3”，或”ξ=5”兩兩互斥，
∴P(A)=P(ξ=1)+P(ξ=3)+P(ξ=5)=

22

35

…（16分）

點評：本題考查隨機事件的概率的求法，以及求離散型隨機變量的分布列和數學期望的方法．