Question

某大學高等數學老師這學期分別用兩種不同的教學方式試驗甲、乙兩個大一新班（人數均為60人，入學數學平均分數和優秀率都相同；勤奮程度和自覺性都一樣）。現隨機抽取甲、乙兩班各20名的高等數學期末考試成績，得到莖葉圖：

（Ⅰ）依莖葉圖判斷哪個班的平均分高？
（Ⅱ）現從甲班高等數學成績不得低于80分的同學中隨機抽取兩名同學，求成績為86分的同學至少有一個被抽中的概率；
（Ⅲ）學校規定：成績不低于85分的為優秀，請填寫下面的列聯表，并判斷“能否在犯錯誤的概率不超過0.025的前提下認為成績優秀與教學方式有關？”

	甲班	乙班	合計
優秀
不優秀
合計

下面臨界值表僅供參考：

	0.15	0.10	0.05	0.025	0.010	0.005	0.001
	2.072	2.706	3.841	5.024	6.635	7.879	10.828

 （參考公式：其中）

Answer 1

（Ⅰ）甲班高等數學成績集中于60-90分之間，而乙班數學成績集中于80-100分之間，所以乙班的平均分高.
（Ⅱ） ;
（Ⅲ）在犯錯誤的概率不超過0.025的前提下可以認為成績優秀與教學方式有關。

解析試題分析：（Ⅰ）甲班高等數學成績集中于60-90分之間，而乙班數學成績集中于80-100分之間，所以乙班的平均分高          3分
（Ⅱ）記成績為86分的同學為，其他不低于80分的同學為
“從甲班高等數學成績不得低于80分的同學中隨機抽取兩名同學”的一切可能結果組成的基本事件有：
一共15個，
“抽到至少有一個86分的同學”所組成的基本事件有：共9個，      5分
故                       7分
（Ⅲ）

	甲班	乙班	合計
優秀	3	10	13
不優秀	17	10	27
合計	20	20	40

9分
，因此在犯錯誤的概率不超過0.025的前提下可以認為成績優秀與教學方式有關。                  12分
考點：莖葉圖，古典概型概率的計算，卡方檢驗。
點評：典型題，統計中的抽樣方法，頻率直方圖，概率計算及分布列問題，是高考必考內容及題型。解答本題的關鍵之一，是確定“事件數”，一般處理方法有“樹圖法”“坐標法”，力求不重不漏。本題對計算能力要求較高。