Question

如圖，ABCD是邊長為2的正方形紙片，沿某動直線Z為折痕將正方形在其下方的部分向上翻折，使得每次翻折后點B都落在邊AD上，記為B′；折痕l與AB交于點E，點M滿足關系式．

(1)建立適當的直角坐標系，求點M的軌跡方程；

(2)若曲線C是由點M的軌跡及其關于邊AB對稱的曲線組成的，F是AB邊上的一點，=4，過點F的直線交曲線C于P、Q兩點，且，求實數A的取值范圍．

第19題圖

Answer 1

答案：以B為原點，BA所在直線為Y軸，BC所在直線為x軸，建立直角坐標系如圖．

(1)解法一：設B′(t，2)，E(0，m)，

其中0≤t≤2，0＜m≤2．

∵，且，

∴四邊形BEB′M是菱形，G(t，1)，M(f，2-m)．

且，即=0，

∵=(t，2-2m)，

∴=(t，2)，

∴-t²=4m-4，即m=t²+1．

設點M的坐標為(x，y)，則.

消去參數t，得y=x²+1(0≤x≤2)．

解法二：當B′不在A點處時．

第19題圖

∵，

∴四邊形BEB′M為平行四邊形．

依題意BE=EB′，

∴平行四邊形B′EBM為菱形，連接B′B交于l于G，則l是BB′的中垂線．

即M∈l，且B′M∥EB，

設B′(t，2)，0≤t≤2，則G(，1)

∴l的方程為y-1=.

設M(x，y)，∵B′M∥EB，∴

消去參數t，得x²=-4(y-1)(0＜x≤2)．

當B′在A點處時，=0，

∴M、E重合于AB的中點，

∴M的坐標為(0，1)，

∵M(0，1)也符合x²=-4(y-1)．

∴M點的軌跡方程為x²=-4(y-1)(0≤x≤2)．

(2)依題意知曲線C的方程為：

x²=-4(y-1)(-2≤x≤2)．

設直線PQ的方程為：y=kx+(≤k≤)．

代入曲線C的方程并整理，得x₂+4kx-2=0．

設P(x₁，y₁)，Q(x₂，y₂)，

則                                                         (*)

又∵，

∴(-x₁，-y₁)=λ(x₂，y₂)，

從而得x₁=-λx₂．

代人(*)得

①式兩邊平方后除以②式，得

，即=8k²

∵0≤k²≤.∴.

即2λ²-5λ+2≤0，∴≤λ≤2．

∴實數λ的取值范圍為[，2].