Question

【題目】已知函數f（x）=xlnx．
（Ⅰ）設函數g（x）= ，求g（x）的單調區間；
（Ⅱ）若方程f（x）=t有兩個不相等的實數根x1 ， x2 ， 求證：x1+x2 ．

Answer 1

【答案】解：（Ⅰ）∵g（x）= （x＞0，且x≠1），則g′（x）= （x＞0，且x≠1）， 設h（x）=x﹣lnx﹣1（x＞0，且x≠1），則h′（x）=1﹣ （x＞0，且x≠1），
當0＜x＜1時，h′（x）＜0，h（x）單調遞減；x＞1時，h′（x）＞0，h（x）單調遞增；
∴h（x）＞h（1）=0，
∴當x＞0，且x≠1時，f′（x）＞0，f（x）單調遞增，
∴g（x）的單調遞增區間（0，1），（1，+∞），無單調遞增區間；
（Ⅱ）證明：f′（x）=1+lnx，當0＜x＜ ，f′（x）＞0，則f（x）在（0， ）單調遞減，
當x＞ 時，f′（x）＞0，函數f（x）在（ ，+∞）上單調遞增，
當0＜x＜1時，f（x）＜0，當x＞1，f（x）＞0，
設0＜x1＜ x2＜1，構造函數F（x）=f（x）﹣f（x﹣ ），
則F′（x）=f′（x）﹣f′（ ﹣x）=2+lnx（ ﹣x），
當0＜x＜ ，x（ ﹣x）＜ ，則F′（x）＜0，F（x）在（0， ）單調遞減，
由F（ ）=0，故F（x）＞0，（0＜e＜ ），
由0＜x1＜ ，得F（x1）=f（x1）﹣f（ ﹣x1）＞0，
則f（x1）=f（x2）＞f（ ﹣x1），
又x2＞ ， ﹣x1＞ ，
∴f（x）在（ ，+∞）上單調遞增，故x2＞ ﹣x1 ，
∴x1+x2
【解析】（Ⅰ）求導，根據函數的單調性導數的關系，構造輔助函數，求導h′（x）=1﹣ （x＞0，且x≠1），則h（x）＞h（1）=0，則f′（x）＞0，即可求得g（x）的單調區間；（Ⅱ）構造函數F（x）=f（x）﹣f（x﹣ ），求導F′（x）=2+lnx（ ﹣x），根據函數單調性可知F（x）＞0，（0＜e＜ ），當0＜x1＜ ，得F（x1）=f（x1）﹣f（ ﹣x1）＞0，f（x）在（ ，+∞）上單調遞增，故x2＞ ﹣x1 ， 即可求證不等式成立．
【考點精析】解答此題的關鍵在于理解利用導數研究函數的單調性的相關知識，掌握一般的,函數的單調性與其導數的正負有如下關系： 在某個區間內，(1)如果，那么函數在這個區間單調遞增；(2)如果，那么函數在這個區間單調遞減，以及對函數的最大(小)值與導數的理解，了解求函數在上的最大值與最小值的步驟：（1）求函數在內的極值；（2）將函數的各極值與端點處的函數值，比較，其中最大的是一個最大值，最小的是最小值．